Vyriešiť 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx-5. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -8 súčtu.

$$a=-10 b=2$$

Zapíšte 4x^{2}-8x-5 ako výraz \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Vyčleňte 2x z výrazu 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Vyberte spoločný člen 2x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-5=0 a 2x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -8 za b a -5 za c.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Prirátajte 64 ku 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Opak čísla -8 je 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{8±12}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 8 ku 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{20}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{8±12}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 12 od čísla 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-4}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -5 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

Odčítajte číslo -5 od čísla 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

Vydeľte číslo -8 číslom 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Číslo -2, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -1. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -1. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Prirátajte \frac{5}{4} ku 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Rozložte x^{2}-2x+1 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$