Vyriešiť 4x^2+6x-1>0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 1 > 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{13}-3}{4},\infty\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+6x-1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 4 výrazom a, 6 výrazom b a -1 výrazom c.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)>0$$

Ak má byť výsledok súčinu kladný, výrazy x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} a x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} musia byť oba kladné alebo oba záporné. Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} a x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} záporné.

$$x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}<0 x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} a x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} kladné.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}>0 x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}>0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$