Vyriešiť 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx-7. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -12 súčtu.

$$a=-14 b=2$$

Zapíšte 4x^{2}-12x-7 ako výraz \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Vyčleňte 2x z výrazu 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Vyberte spoločný člen 2x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-7=0 a 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -12 za b a -7 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Prirátajte 144 ku 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Opak čísla -12 je 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±16}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 12 ku 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{28}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±16}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16 od čísla 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-4}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Odčítajte číslo -7 od čísla 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Vydeľte číslo -12 číslom 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Číslo -3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Prirátajte \frac{7}{4} ku \frac{9}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Rozložte x^{2}-3x+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$