Vyriešiť 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Riešenie pre t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(t+10\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 225 a t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Odčítajte 225t^{2} z oboch strán.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Odčítajte 4500t z oboch strán.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Skombinovaním 30t a -4500t získate -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Odčítajte 22500 z oboch strán.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -225 za a, -4470 za b a -22500 za c.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Umocnite číslo -4470.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Vynásobte číslo 900 číslom -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Prirátajte 19980900 ku -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Opak čísla -4470 je 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, keď ± je plus. Prirátajte 4470 ku 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Vydeľte číslo 4470+30i\sqrt{299} číslom -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 30i\sqrt{299} od čísla 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Vydeľte číslo 4470-30i\sqrt{299} číslom -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(t+10\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 225 a t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Odčítajte 225t^{2} z oboch strán.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Odčítajte 4500t z oboch strán.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Skombinovaním 30t a -4500t získate -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Vydeľte obe strany hodnotou -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Delenie číslom -225 ruší násobenie číslom -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Vykráťte zlomok \frac{-4470}{-225} na základný tvar extrakciou a elimináciou 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Vydeľte číslo 22500 číslom -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Číslo \frac{298}{15}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{149}{15}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{149}{15}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{149}{15} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Prirátajte -100 ku \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Rozložte t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Zjednodušte.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Odčítajte hodnotu \frac{149}{15} od oboch strán rovnice.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$