Vyriešiť 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Riešenie pre x,y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$3x-5y=4$$

Prirátajte 5y ku obom stranám rovnice.

$$3x=5y+4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Dosaďte \frac{5y+4}{3} za x v druhej rovnici 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Vynásobte číslo 9 číslom \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Prirátajte 15y ku -2y.

$$13y+12=7$$

Odčítajte hodnotu 12 od oboch strán rovnice.

$$13y=-5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

V rovnici x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} dosaďte y za premennú -\frac{5}{13}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Vynásobte zlomok \frac{5}{3} zlomkom -\frac{5}{13} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Prirátajte \frac{4}{3} ku -\frac{25}{39} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{9}{13}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Ak chcete, aby boli členy 3x a 9x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 9 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Zjednodušte.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Odčítajte rovnicu 27x-6y=21 od rovnice 27x-45y=36 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Prirátajte 27x ku -27x. Členy 27x a -27x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-45y+6y=36-21$$

Prirátajte -45y ku 6y.

$$-39y=36-21$$

Prirátajte 36 ku -21.

$$-39y=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

V rovnici 9x-2y=7 dosaďte y za premennú -\frac{5}{13}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Vynásobte číslo -2 číslom -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Odčítajte hodnotu \frac{10}{13} od oboch strán rovnice.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$