Vyriešiť 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Rozložiť na faktory

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Postup riešenia

Vynásobte a zlúčte rovnaké členy.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Ak chcete výraz faktor, vyriešte rovnicu, v ktorej sa rovná 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -16 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 3. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-4$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 číslom x+4 a dostanete 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -4 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 3. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-4$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 3x^{3}+12x^{2}-x-4 číslom x+4 a dostanete 3x^{2}-1. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 3 výrazom a, 0 výrazom b a -1 výrazom c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Vyriešte rovnicu 3x^{2}-1=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Prepíšte výraz rozložený na faktory pomocou získaných koreňov. Súčtom 3x^{2}-1 nie je na činitele, pretože nemá žiadne racionálne korene.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Vyhodnotiť

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Postup riešenia

Skombinovaním 48x^{2} a -x^{2} získate 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$