Vyriešiť 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10,194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3,138998252$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -40 za b a 96 za c.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

Prirátajte 1600 ku -1152.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 448.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Opak čísla -40 je 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 40 ku 8\sqrt{7}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

Vydeľte číslo 40+8\sqrt{7} číslom 6.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 8\sqrt{7} od čísla 40.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

Vydeľte číslo 40-8\sqrt{7} číslom 6.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Odčítajte hodnotu 96 od oboch strán rovnice.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

Výsledkom odčítania čísla 96 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-40x=-96$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

Vydeľte číslo -96 číslom 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

Číslo -\frac{40}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{20}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{20}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{20}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

Prirátajte -32 ku \frac{400}{9}.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

Prirátajte \frac{20}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$