Vyriešiť 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Jedinou takou dvojicou je systémové riešenie.

$$a=-3 b=1$$

Zapíšte 3x^{2}-2x-1 ako výraz \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Vyčleňte 3x z výrazu 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Vyberte spoločný člen x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-1=0 a 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -2 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Prirátajte 4 ku 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±4}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Vydeľte číslo 6 číslom 6.

$$x=1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±4}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4 od čísla 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-2}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Číslo -\frac{2}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Prirátajte \frac{1}{3} ku \frac{1}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Prirátajte \frac{1}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$