Vyriešiť 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-8. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 23 súčtu.

$$a=-1 b=24$$

Zapíšte 3x^{2}+23x-8 ako výraz \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

x na prvej skupine a 8 v druhá skupina.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-1=0 a x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 23 za b a -8 za c.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

Prirátajte 529 ku 96.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 625.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-23±25}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -23 ku 25.

$$x=\frac{2}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{2}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-23±25}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 25 od čísla -23.

$$x=-\frac{48}{6}$$

Vydeľte číslo -48 číslom 6.

$$x=-8$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Prirátajte 8 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -8 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

Odčítajte číslo -8 od čísla 0.

$$3x^{2}+23x=8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

Číslo \frac{23}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{23}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{23}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{23}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

Prirátajte \frac{8}{3} ku \frac{529}{36} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

Rozložte x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

Odčítajte hodnotu \frac{23}{6} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$