Vyriešiť 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-12. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 16 súčtu.

$$a=-2 b=18$$

Zapíšte 3x^{2}+16x-12 ako výraz \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

x na prvej skupine a 6 v druhá skupina.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-2=0 a x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 16 za b a -12 za c.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Prirátajte 256 ku 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-16±20}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -16 ku 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-16±20}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 20 od čísla -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Vydeľte číslo -36 číslom 6.

$$x=-6$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Prirátajte 12 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -12 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Odčítajte číslo -12 od čísla 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Vydeľte číslo 12 číslom 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Číslo \frac{16}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{8}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{8}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{8}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Prirátajte 4 ku \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Rozložte x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Odčítajte hodnotu \frac{8}{3} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$