Vyriešiť 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Riešenie pre n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 1141 z oboch strán.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Odčítajte 1141 z 1 a dostanete -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare n^{2}+an+bn-380. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 1 súčtu.

$$a=-19 b=20$$

Zapíšte n^{2}+n-380 ako výraz \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

n na prvej skupine a 20 v druhá skupina.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Vyberte spoločný člen n-19 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte n-19=0 a n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Odčítajte hodnotu 1141 od oboch strán rovnice.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Výsledkom odčítania čísla 1141 od seba samého bude 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Odčítajte číslo 1141 od čísla 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 3 za b a -1140 za c.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Prirátajte 9 ku 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{-3±117}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -3 ku 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Vydeľte číslo 114 číslom 6.

$$n=19$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{-3±117}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 117 od čísla -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Vydeľte číslo -120 číslom 6.

$$n=-20$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=19 n=-20$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Odčítajte číslo 1 od čísla 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Vydeľte číslo 3 číslom 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Vydeľte číslo 1140 číslom 3.

$$n^{2}+n=380$$

Číslo 1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Prirátajte 380 ku \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Rozložte n^{2}+n+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Zjednodušte.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$n=19 n=-20$$