Vyriešiť 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,75+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0,75-1,198957881i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -5 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

Odčítajte číslo -5 od čísla -1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, -3 za b a 4 za c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

Prirátajte 9 ku -32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -23.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Opak čísla -3 je 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}, keď ± je plus. Prirátajte 3 ku i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{23} od čísla 3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla -5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Vydeľte číslo -4 číslom 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Číslo -\frac{3}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

Prirátajte -2 ku \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

Rozložte x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Prirátajte \frac{3}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$