Vyriešiť 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Riešenie pre x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu 6 od oboch strán rovnice.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Umocnite číslo 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 11 a dostanete 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x^{2}-5x} a dostanete x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 121 a x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Odčítajte 121x^{2} z oboch strán.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Skombinovaním 76x^{2} a -121x^{2} získate -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Pridať položku 605x na obidve snímky.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Skombinovaním 120x a 605x získate 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 36 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 4. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-4$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 číslom x+4 a dostanete 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 9 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 4. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=9$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 číslom x-9 a dostanete 4x^{2}-20x-1. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 4 výrazom a, -20 výrazom b a -1 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Vyriešte rovnicu 4x^{2}-20x-1=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Dosadí -4 za x v rovnici 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Zjednodušte. Hodnota x=-4 vyhovuje rovnici.

$$72=72$$

Dosadí 9 za x v rovnici 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Zjednodušte. Hodnota x=9 vyhovuje rovnici.

$$72=72$$

Dosadí \frac{5-\sqrt{26}}{2} za x v rovnici 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} nespĺňa rovnicu.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Dosadí \frac{\sqrt{26}+5}{2} za x v rovnici 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} nespĺňa rovnicu.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Uveďte všetky riešenia 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$