Vyriešiť 2x^2+9x+7=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x + 7 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=-1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 2x^{2}+ax+bx+7. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 14.

$$1,14 2,7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+14=15 2+7=9$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 9 súčtu.

$$a=2 b=7$$

Zapíšte 2x^{2}+9x+7 ako výraz \left(2x^{2}+2x\right)+\left(7x+7\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(7x+7\right)$$

2x na prvej skupine a 7 v druhá skupina.

$$2x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

Vyberte spoločný člen x+1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x+1\right)\left(2x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x+1=0 a 2x+7=0.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}+9x+7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 9 za b a 7 za c.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom 7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Prirátajte 81 ku -56.

$$x=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 25.

$$x=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{-9±5}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-9±5}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -9 ku 5.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Vydeľte číslo -4 číslom 4.

$$x=-1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-9±5}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 5 od čísla -9.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-14}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x+7=0$$

Odčítajte hodnotu 7 od oboch strán rovnice.

$$2x^{2}+9x+7-7=-7$$

Výsledkom odčítania čísla 7 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}+9x=-7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Číslo \frac{9}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{9}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{9}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{9}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Prirátajte -\frac{7}{2} ku \frac{81}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Rozložte x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Odčítajte hodnotu \frac{9}{4} od oboch strán rovnice.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$