Vyriešiť 19x^2-14x+4122=0

$$19 x ^ { 2 } - 14 x + 4122 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}\approx 0,368421053+14,724524928i$$

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}\approx 0,368421053-14,724524928i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 19 za a, -14 za b a 4122 za c.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Umocnite číslo -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 19.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-76\times 4122}}{2\times 19}$$

Vynásobte číslo -76 číslom 4122.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-313272}}{2\times 19}$$

Prirátajte 196 ku -313272.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-313076}}{2\times 19}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -313076.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Opak čísla -14 je 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 19.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}, keď ± je plus. Prirátajte 14 ku 2i\sqrt{78269}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{78269}i}{38}$$

Vydeľte číslo 14+2i\sqrt{78269} číslom 38.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2i\sqrt{78269} od čísla 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{78269}i+14}{38}$$

Vydeľte číslo 14-2i\sqrt{78269} číslom 38.

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Odčítajte hodnotu 4122 od oboch strán rovnice.

$$19x^{2}-14x+4122-4122=-4122$$

Výsledkom odčítania čísla 4122 od seba samého bude 0.

$$19x^{2}-14x=-4122$$

Vydeľte obe strany hodnotou 19.

$$\frac{19x^{2}-14x}{19}=-\frac{4122}{19}$$

Delenie číslom 19 ruší násobenie číslom 19.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x=-\frac{4122}{19}$$

Číslo -\frac{14}{19}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{19}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{19}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{4122}{19}+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{19} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{4122}{19}+\frac{49}{361}$$

Prirátajte -\frac{4122}{19} ku \frac{49}{361} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{78269}{361}$$

Rozložte x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{78269}{361}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{78269}{361}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{19}=\frac{\sqrt{78269}i}{19} x-\frac{7}{19}=-\frac{\sqrt{78269}i}{19}$$

Prirátajte \frac{7}{19} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$