Vyriešiť 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 16x^{2}+ax+bx-3. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 8 súčtu.

$$a=-4 b=12$$

Zapíšte 16x^{2}+8x-3 ako výraz \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

4x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 4x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 4x-1=0 a 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 16 za a, 8 za b a -3 za c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Umocnite číslo 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -64 číslom -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Prirátajte 64 ku 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-8±16}{32}, keď ± je plus. Prirátajte -8 ku 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Vykráťte zlomok \frac{8}{32} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-8±16}{32}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16 od čísla -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Vykráťte zlomok \frac{-24}{32} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -3 od seba samého bude 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Odčítajte číslo -3 od čísla 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Delenie číslom 16 ruší násobenie číslom 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Vykráťte zlomok \frac{8}{16} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Číslo \frac{1}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Prirátajte \frac{3}{16} ku \frac{1}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Rozložte x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{4} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$