Vyriešiť 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 12x^{2}+ax+bx-7. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 17 súčtu.

$$a=-4 b=21$$

Zapíšte 12x^{2}+17x-7 ako výraz \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

4x na prvej skupine a 7 v druhá skupina.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-1=0 a 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 12 za a, 17 za b a -7 za c.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Umocnite číslo 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -48 číslom -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Prirátajte 289 ku 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-17±25}{24}, keď ± je plus. Prirátajte -17 ku 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Vykráťte zlomok \frac{8}{24} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-17±25}{24}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 25 od čísla -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Vykráťte zlomok \frac{-42}{24} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7 od seba samého bude 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Odčítajte číslo -7 od čísla 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Delenie číslom 12 ruší násobenie číslom 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Číslo \frac{17}{12}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{17}{24}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{17}{24}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{17}{24} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Prirátajte \frac{7}{12} ku \frac{289}{576} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Rozložte x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Odčítajte hodnotu \frac{17}{24} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$