Vyriešiť 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 12 za a, -102 za b a 160 za c.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Umocnite číslo -102.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -48 číslom 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Prirátajte 10404 ku -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Opak čísla -102 je 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}, keď ± je plus. Prirátajte 102 ku 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Vydeľte číslo 102+2\sqrt{681} číslom 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{681} od čísla 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Vydeľte číslo 102-2\sqrt{681} číslom 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Odčítajte hodnotu 160 od oboch strán rovnice.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Výsledkom odčítania čísla 160 od seba samého bude 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Vydeľte obe strany hodnotou 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Delenie číslom 12 ruší násobenie číslom 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{-102}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{-160}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Číslo -\frac{17}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{17}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{17}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{17}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Prirátajte -\frac{40}{3} ku \frac{289}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Rozložte x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Prirátajte \frac{17}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$