Vyriešiť 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 11 výrazom a, -9 výrazom b a 1 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Ak má byť výsledok súčinu kladný, výrazy x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} a x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} musia byť oba kladné alebo oba záporné. Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} a x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} záporné.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} a x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} kladné.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$