Vyriešiť -3x^2-8x+16=0

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-4$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -3x^{2}+ax+bx+16. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -8 súčtu.

$$a=4 b=-12$$

Zapíšte -3x^{2}-8x+16 ako výraz \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

-x na prvej skupine a -4 v druhá skupina.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-4=0 a -x-4=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, -8 za b a 16 za c.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 64 ku 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

Opak čísla -8 je 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{8±16}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte 8 ku 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Vydeľte číslo 24 číslom -6.

$$x=-4$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{8±16}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16 od čísla 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-8}{-6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Odčítajte hodnotu 16 od oboch strán rovnice.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

Výsledkom odčítania čísla 16 od seba samého bude 0.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

Vydeľte číslo -8 číslom -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

Vydeľte číslo -16 číslom -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Číslo \frac{8}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{4}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{4}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{4}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Prirátajte \frac{16}{3} ku \frac{16}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Rozložte x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Odčítajte hodnotu \frac{4}{3} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$