Vyriešiť -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, 16 za b a 128 za c.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 256 ku 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte -16 ku 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Vydeľte číslo -16+16\sqrt{7} číslom -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16\sqrt{7} od čísla -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Vydeľte číslo -16-16\sqrt{7} číslom -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Odčítajte hodnotu 128 od oboch strán rovnice.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Výsledkom odčítania čísla 128 od seba samého bude 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Vydeľte číslo 16 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Vydeľte číslo -128 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Číslo -\frac{16}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{8}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{8}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{8}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Prirátajte \frac{128}{3} ku \frac{64}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Prirátajte \frac{8}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$