Vyriešiť -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -14x^{2}+ax+bx+4. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 1 súčtu.

$$a=8 b=-7$$

Zapíšte -14x^{2}+x+4 ako výraz \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Vyčleňte 2x z výrazu -14x^{2}+8x.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Vyberte spoločný člen -7x+4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte -7x+4=0 a 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -14 za a, 1 za b a 4 za c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Umocnite číslo 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Vynásobte číslo 56 číslom 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Prirátajte 1 ku 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±15}{-28}, keď ± je plus. Prirátajte -1 ku 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Vykráťte zlomok \frac{14}{-28} na základný tvar extrakciou a elimináciou 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±15}{-28}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 15 od čísla -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Vykráťte zlomok \frac{-16}{-28} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{4}{7}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Odčítajte hodnotu 4 od oboch strán rovnice.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

Výsledkom odčítania čísla 4 od seba samého bude 0.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Vydeľte obe strany hodnotou -14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Delenie číslom -14 ruší násobenie číslom -14.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Vydeľte číslo 1 číslom -14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Vykráťte zlomok \frac{-4}{-14} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Číslo -\frac{1}{14}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{28}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{28}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{28} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Prirátajte \frac{2}{7} ku \frac{1}{784} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Rozložte x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Prirátajte \frac{1}{28} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$