Vyriešiť (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 2x-3 a x+1 a zlúčenie podobných členov.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x-2, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Skombinovaním -x a -x získate -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Sčítaním -3 a 2 získate -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 2 výrazom a, -2 výrazom b a -1 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Ak má byť výsledok súčinu záporný, výrazy x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} musia mať opačné znamienka. Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} kladný a výraz x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} záporný.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} kladný a výraz x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} záporný.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$