Vyriešiť (20-x)x=75

$$(20-x)x=75$$

Riešenie pre x

$$x=5$$

$$x=15$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie 20-x a x.

$$20x-x^{2}=75$$

Odčítajte 75 z oboch strán.

$$20x-x^{2}-75=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+20x-75=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 20 za b a -75 za c.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom -75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 400 ku -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 100.

$$x=\frac{-20±10}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-20±10}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±10}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -20 ku 10.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Vydeľte číslo -10 číslom -2.

$$x=5$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±10}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 10 od čísla -20.

$$x=-\frac{30}{-2}$$

Vydeľte číslo -30 číslom -2.

$$x=15$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=5 x=15$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Použite distributívny zákon na vynásobenie 20-x a x.

$$20x-x^{2}=75$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+20x=75$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{75}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{75}{-1}$$

Vydeľte číslo 20 číslom -1.

$$x^{2}-20x=\frac{75}{-1}$$

Vydeľte číslo 75 číslom -1.

$$x^{2}-20x=-75$$

Číslo -20, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -10. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -10. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-75+\left(-10\right)^{2}$$

Umocnite číslo -10.

$$x^{2}-20x+100=-75+100$$

Prirátajte -75 ku 100.

$$x^{2}-20x+100=25$$

Rozložte x^{2}-20x+100 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-10\right)^{2}=25$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Zjednodušte.

$$x-10=5 x-10=-5$$

Prirátajte 10 ku obom stranám rovnice.

$$x=15 x=5$$