Vyriešiť (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 20-x a 100+20x a zlúčenie podobných členov.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Odčítajte 2240 z oboch strán.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Odčítajte 2240 z 2000 a dostanete -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -20 za a, 300 za b a -240 za c.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Umocnite číslo 300.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Vynásobte číslo 80 číslom -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Prirátajte 90000 ku -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, keď ± je plus. Prirátajte -300 ku 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Vydeľte číslo -300+20\sqrt{177} číslom -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 20\sqrt{177} od čísla -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Vydeľte číslo -300-20\sqrt{177} číslom -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 20-x a 100+20x a zlúčenie podobných členov.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Odčítajte 2000 z oboch strán.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Odčítajte 2000 z 2240 a dostanete 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Vydeľte obe strany hodnotou -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Delenie číslom -20 ruší násobenie číslom -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Vydeľte číslo 300 číslom -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Vydeľte číslo 240 číslom -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Číslo -15, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{15}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{15}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{15}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Prirátajte -12 ku \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Rozložte x^{2}-15x+\frac{225}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Prirátajte \frac{15}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$