Vyriešiť (20-3x)(12-2x)=112

$$(20-3x)(12-2x)=112$$

Riešenie pre x

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 20-3x a 12-2x a zlúčenie podobných členov.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Odčítajte 112 z oboch strán.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Odčítajte 112 z 240 a dostanete 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 6 za a, -76 za b a 128 za c.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Umocnite číslo -76.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslom 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Prirátajte 5776 ku -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

Opak čísla -76 je 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{76±52}{12}, keď ± je plus. Prirátajte 76 ku 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{128}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{32}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{76±52}{12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 52 od čísla 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Vydeľte číslo 24 číslom 12.

$$x=2$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 20-3x a 12-2x a zlúčenie podobných členov.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Odčítajte 240 z oboch strán.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Odčítajte 240 z 112 a dostanete -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Delenie číslom 6 ruší násobenie číslom 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-76}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-128}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Číslo -\frac{38}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{19}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{19}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{19}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Prirátajte -\frac{64}{3} ku \frac{361}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Prirátajte \frac{19}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$