Vyriešiť (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Riešenie pre x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Postup riešenia

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, -4 výrazom b a -3 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Ak má byť výsledok súčinu ≥0, výrazy x-\left(\sqrt{7}+2\right) a x-\left(2-\sqrt{7}\right) musia byť oba ≤0 alebo oba ≥0. Zvážte, aký bude výsledok, ak pre oba výrazy x-\left(\sqrt{7}+2\right) a x-\left(2-\sqrt{7}\right) platí, že sú ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak pre oba výrazy x-\left(\sqrt{7}+2\right) a x-\left(2-\sqrt{7}\right) platí, že sú ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$