Vyriešiť sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Riešenie pre x

$$x=5$$

$$x=1$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu -\sqrt{2x-1} od oboch strán rovnice.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{3x+1} a dostanete 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x-1} a dostanete 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Odčítajte 1 z 1 a dostanete 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Odčítajte hodnotu 2x od oboch strán rovnice.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Skombinovaním 3x a -2x získate x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x-1} a dostanete 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Odčítajte 8x z oboch strán.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Skombinovaním 2x a -8x získate -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Pridať položku 4 na obidve snímky.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Sčítaním 1 a 4 získate 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor x^{2}-6x+5 pomocou vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-6 ab=5$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Jedinou takou dvojicou je systémové riešenie.

$$a=-5 b=-1$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-5=0 a x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Dosadí 5 za x v rovnici \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Zjednodušte. Hodnota x=5 vyhovuje rovnici.

$$1=1$$

Dosadí 1 za x v rovnici \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Zjednodušte. Hodnota x=1 vyhovuje rovnici.

$$1=1$$

Uveďte všetky riešenia \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$