Vyriešiť ∫ (from 1 to 4) of (2x-2)^2 wrt x=

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } ( 2 x - 2 ) ^ { 2 } d x =$$

Vyhodnotiť

$$36$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(2x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\int _{1}^{4}4x^{2}-8x+4\mathrm{d}x$$

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 4x^{2}-8x+4\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 4 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-8\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -8 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4x^{2}+\int 4\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 4 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4x^{2}+4x$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{4}{3}\times 4^{3}-4\times 4^{2}+4\times 4-\left(\frac{4}{3}\times 1^{3}-4\times 1^{2}+4\times 1\right)$$

Zjednodušte.

$$36$$