Vyriešiť ∫ (from 1 to 27) of 2pix(27x^3) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 27 } 2 \pi x ( 27 x ^ { 3 } ) d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{774840924\pi }{5}\approx 486846910,90782547$$

Postup riešenia

Ak chcete vynásobiť mocniny rovnakého mocnenca, sčítajte ich mocniteľov. Sčítaním čísel 1 a 3 dostanete 4.

$$\int _{1}^{27}2\pi x^{4}\times 27\mathrm{d}x$$

Vynásobením 2 a 27 získate 54.

$$\int _{1}^{27}54\pi x^{4}\mathrm{d}x$$

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 54\pi x^{4}\mathrm{d}x$$

Na vyčlenenie konštanty použite \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$54\pi \int x^{4}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{4}\mathrm{d}x s \frac{x^{5}}{5}.

$$54\pi \times \frac{x^{5}}{5}$$

Zjednodušte.

$$\frac{54\pi x^{5}}{5}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{54}{5}\pi \times 27^{5}-\frac{54}{5}\pi \times 1^{5}$$

Zjednodušte.

$$\frac{774840924\pi }{5}$$