Vyriešiť ∫ 2x(1+x^2) wrt x

$$\int 2 x ( 1 + x ^ { 2 } ) d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x a 1+x^{2}.

$$\int 2x+2x^{3}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 2x\mathrm{d}x+\int 2x^{3}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$2\int x\mathrm{d}x+2\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 2 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{2}+2\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 2 číslom \frac{x^{4}}{4}.

$$x^{2}+\frac{x^{4}}{2}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+С$$

Derivovať podľa x

$$2x\left(x^{2}+1\right)$$