Vyriešiť ∫ (x^2+6x+1+3x^2-4x+5)

$$\int ( x ^ { 2 } + 6 x + 1 + 3 x ^ { 2 } - 4 x + 5 )$$

Vyhodnotiť

$$\frac{4x^{3}}{3}+x^{2}+6x+С$$

Postup riešenia

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x+\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x+3\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x+3\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 6 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+\int 1\mathrm{d}x+3\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 1 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+x+3\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 3 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+x+x^{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -4 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+x+x^{3}-2x^{2}+\int 5\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 5 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+x+x^{3}-2x^{2}+5x$$

Zjednodušte.

$$\frac{4x^{3}}{3}+x^{2}+6x$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{4x^{3}}{3}+x^{2}+6x+С$$

Derivovať podľa x

$$2\left(2x^{2}+x+3\right)$$