Vyriešiť ∫ (4x^7+4x+4)(28x^6+4) wrt x

$$\int ( 4 x ^ { 7 } + 4 x + 4 ) ( 28 x ^ { 6 } + 4 ) d x$$

Vyhodnotiť

$$8x^{14}+16x^{8}+16x^{7}+8x^{2}+16x+С$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 4x^{7}+4x+4 a 28x^{6}+4 a zlúčenie podobných členov.

$$\int 112x^{13}+128x^{7}+16x+112x^{6}+16\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 112x^{13}\mathrm{d}x+\int 128x^{7}\mathrm{d}x+\int 16x\mathrm{d}x+\int 112x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$112\int x^{13}\mathrm{d}x+128\int x^{7}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{13}\mathrm{d}x s \frac{x^{14}}{14}. Vynásobte číslo 112 číslom \frac{x^{14}}{14}.

$$8x^{14}+128\int x^{7}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{7}\mathrm{d}x s \frac{x^{8}}{8}. Vynásobte číslo 128 číslom \frac{x^{8}}{8}.

$$8x^{14}+16x^{8}+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 16 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{6}\mathrm{d}x s \frac{x^{7}}{7}. Vynásobte číslo 112 číslom \frac{x^{7}}{7}.

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+16x^{7}+\int 16\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 16 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+16x^{7}+16x$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$8x^{14}+16x^{8}+16x^{7}+8x^{2}+16x+С$$

Derivovať podľa x

$$16\left(7x^{6}+1\right)\left(x^{7}+x+1\right)$$