Vyriešiť 70/x+35+70/x-35=40

$$\frac{ 70 }{ x+35 } + \frac{ 70 }{ x-35 } =40$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{7 \sqrt{401} + 7}{4} \approx 36,79372269$$

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}\approx -33,29372269$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -35,35, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-35\right)\left(x+35\right), najmenším spoločným násobkom čísla x+35,x-35.

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-35 a 70.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+35 a 70.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Skombinovaním 70x a 70x získate 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Sčítaním -2450 a 2450 získate 0.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 40 a x-35.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 40x-1400 a x+35 a zlúčenie podobných členov.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Odčítajte 40x^{2} z oboch strán.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Pridať položku 49000 na obidve snímky.

$$140x-40x^{2}+49000=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-40x^{2}+140x+49000=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -40 za a, 140 za b a 49000 za c.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Umocnite číslo 140.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -40.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+160\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Vynásobte číslo 160 číslom 49000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+7840000}}{2\left(-40\right)}$$

Prirátajte 19600 ku 7840000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{7859600}}{2\left(-40\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 7859600.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{2\left(-40\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -40.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}, keď ± je plus. Prirátajte -140 ku 140\sqrt{401}.

$$x=\frac{140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Vydeľte číslo -140+140\sqrt{401} číslom -80.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 140\sqrt{401} od čísla -140.

$$x=\frac{-140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Vydeľte číslo -140-140\sqrt{401} číslom -80.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4} x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -35,35, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-35\right)\left(x+35\right), najmenším spoločným násobkom čísla x+35,x-35.

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-35 a 70.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+35 a 70.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Skombinovaním 70x a 70x získate 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Sčítaním -2450 a 2450 získate 0.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 40 a x-35.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 40x-1400 a x+35 a zlúčenie podobných členov.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Odčítajte 40x^{2} z oboch strán.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-40x^{2}+140x=-49000$$

Vydeľte obe strany hodnotou -40.

$$\frac{-40x^{2}+140x}{-40}=-\frac{49000}{-40}$$

Delenie číslom -40 ruší násobenie číslom -40.

$$x^{2}+\frac{140}{-40}x=-\frac{49000}{-40}$$

Vykráťte zlomok \frac{140}{-40} na základný tvar extrakciou a elimináciou 20.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{49000}{-40}$$

Vydeľte číslo -49000 číslom -40.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=1225$$

Číslo -\frac{7}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=1225+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=1225+\frac{49}{16}$$

Prirátajte 1225 ku \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{19649}{16}$$

Rozložte x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{19649}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19649}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{7\sqrt{401}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{7\sqrt{401}}{4}$$

Prirátajte \frac{7}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4} x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$