Vyriešiť x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Riešenie pre x

$$x=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -9,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x+9\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x+9 a x+9 získate \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Na rozloženie výrazu \left(x+9\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x a x získate x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2}\times 16 získate 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 8x a x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Odčítajte 8x^{2} z oboch strán.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Skombinovaním 17x^{2} a -8x^{2} získate 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Odčítajte 72x z oboch strán.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Skombinovaním 18x a -72x získate -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx+9. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -6 súčtu.

$$a=-3 b=-3$$

Zapíšte x^{2}-6x+9 ako výraz \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

x na prvej skupine a -3 v druhá skupina.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte x-3=0.

$$x=3$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -9,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x+9\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x+9 a x+9 získate \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Na rozloženie výrazu \left(x+9\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x a x získate x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2}\times 16 získate 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 8x a x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Odčítajte 8x^{2} z oboch strán.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Skombinovaním 17x^{2} a -8x^{2} získate 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Odčítajte 72x z oboch strán.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Skombinovaním 18x a -72x získate -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, -54 za b a 81 za c.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Prirátajte 2916 ku -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Opak čísla -54 je 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Vydeľte číslo 54 číslom 18.

$$x=3$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -9,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x+9\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x+9 a x+9 získate \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Na rozloženie výrazu \left(x+9\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Vynásobením x a x získate x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2}\times 16 získate 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 8x a x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Odčítajte 8x^{2} z oboch strán.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Skombinovaním 17x^{2} a -8x^{2} získate 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Odčítajte 72x z oboch strán.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Skombinovaním 18x a -72x získate -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Odčítajte 81 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Vydeľte číslo -54 číslom 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Vydeľte číslo -81 číslom 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Číslo -6, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -3. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -3. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Umocnite číslo -3.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Prirátajte -9 ku 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Rozložte x^{2}-6x+9 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-3=0 x-3=0$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$x=3 x=3$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=3$$