Vyriešiť frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}}

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0,156210599$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

Zvážte \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 512 a dostanete 262144.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Rozšírte exponent \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 5 a dostanete 25.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

Vynásobením 25 a 3 získate 75.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

Odčítajte 75 z 262144 a dostanete 262069.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 21\sqrt{15} a 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

Rozložte 15=3\times 5 na faktory. Prepíšte druhú odmocninu produktu \sqrt{3\times 5} ako súčin štvorca korene \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

Vynásobením \sqrt{3} a \sqrt{3} získate 3.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

Vynásobením -105 a 3 získate -315.

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$