Vyriešiť 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Riešenie pre x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -6,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x+6\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+6 a 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Skombinovaním 2x a x\times 15 získate 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Odčítajte 6x z oboch strán.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Skombinovaním 17x a -6x získate 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx+12. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 11 súčtu.

$$a=12 b=-1$$

Zapíšte -x^{2}+11x+12 ako výraz \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

-x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Vyberte spoločný člen x-12 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-12=0 a -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -6,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x+6\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+6 a 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Skombinovaním 2x a x\times 15 získate 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Odčítajte 6x z oboch strán.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Skombinovaním 17x a -6x získate 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 11 za b a 12 za c.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 121 ku 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-11±13}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -11 ku 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Vydeľte číslo 2 číslom -2.

$$x=-1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-11±13}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 13 od čísla -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Vydeľte číslo -24 číslom -2.

$$x=12$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-1 x=12$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -6,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x+6\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+6 a 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Skombinovaním 2x a x\times 15 získate 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Odčítajte 6x z oboch strán.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Skombinovaním 17x a -6x získate 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Odčítajte 12 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$11x-x^{2}=-12$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Vydeľte číslo 11 číslom -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Vydeľte číslo -12 číslom -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Číslo -11, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{11}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{11}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{11}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Prirátajte 12 ku \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Rozložte x^{2}-11x+\frac{121}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Prirátajte \frac{11}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=12 x=-1$$