Vyriešiť 1/4x^2+1/3x+1/12=0

$$\frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 12 } = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{12}=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte \frac{1}{4} za a, \frac{1}{3} za b a \frac{1}{12} za c.

$$x=\frac{-\frac{1}{3}±\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{12}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x=\frac{-\frac{1}{3}±\sqrt{\frac{1}{9}-4\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{12}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Vynásobte číslo -4 číslom \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{1}{3}±\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{12}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Prirátajte \frac{1}{9} ku -\frac{1}{12} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{-\frac{1}{3}±\sqrt{\frac{1}{36}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla \frac{1}{36}.

$$x=\frac{-\frac{1}{3}±\frac{1}{6}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Vynásobte číslo 2 číslom \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{1}{3}±\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-\frac{1}{3}±\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}, keď ± je plus. Prirátajte -\frac{1}{3} ku \frac{1}{6} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}$$

Vydeľte číslo -\frac{1}{6} zlomkom \frac{1}{2} tak, že číslo -\frac{1}{6} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-\frac{1}{3}±\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}, keď ± je mínus. Odčítajte zlomok \frac{1}{6} od zlomku -\frac{1}{3} tak, že nájdete spoločného menovateľa a odčítate čitateľov. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Vydeľte číslo -\frac{1}{2} zlomkom \frac{1}{2} tak, že číslo -\frac{1}{2} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{2}.

$$x=-1$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{12}=0$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{12} od oboch strán rovnice.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{12}-\frac{1}{12}=-\frac{1}{12}$$

Výsledkom odčítania čísla \frac{1}{12} od seba samého bude 0.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{1}{12}$$

Vynásobte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x}{\frac{1}{4}}=-\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}}$$

Delenie číslom \frac{1}{4} ruší násobenie číslom \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}x=-\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}}$$

Vydeľte číslo \frac{1}{3} zlomkom \frac{1}{4} tak, že číslo \frac{1}{3} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}}$$

Vydeľte číslo -\frac{1}{12} zlomkom \frac{1}{4} tak, že číslo -\frac{1}{12} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Číslo \frac{4}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{2}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{2}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{2}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Prirátajte -\frac{1}{3} ku \frac{4}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Rozložte x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Odčítajte hodnotu \frac{2}{3} od oboch strán rovnice.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$