Vyriešiť frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Riešenie pre b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Postup riešenia lineárnej rovnice

Preveďte menovateľa \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Zvážte \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Umocnite číslo \sqrt{3}. Umocnite číslo 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Odčítajte 1 z 3 a dostanete 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Vynásobením \sqrt{3}-1 a \sqrt{3}-1 získate \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{3}-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Sčítaním 3 a 1 získate 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 4-2\sqrt{3} číslom 2 a dostanete 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Odčítajte a z oboch strán.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Rovnica je v štandardnom formáte.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Vydeľte obe strany hodnotou \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Delenie číslom \sqrt{3} ruší násobenie číslom \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Vydeľte číslo -\sqrt{3}-a+2 číslom \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Riešenie pre a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$