Решить z^2-6z+34=0

$$z ^ { 2 } - 6 z + 34 = 0$$

Найдите z

$$z=3+5i$$

$$z=3-5i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -6 вместо b и 34 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 34}}{2}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 34}}{2}$$

Умножьте -4 на 34.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-136}}{2}$$

Прибавьте 36 к -136.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-100}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -100.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±10i}{2}$$

Число, противоположное -6, равно 6.

$$z=\frac{6±10i}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{6±10i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 6 к 10i.

$$z=\frac{6+10i}{2}$$

Разделите 6+10i на 2.

$$z=3+5i$$

Решите уравнение z=\frac{6±10i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10i из 6.

$$z=\frac{6-10i}{2}$$

Разделите 6-10i на 2.

$$z=3-5i$$

Уравнение решено.

$$z=3+5i z=3-5i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Вычтите 34 из обеих частей уравнения.

$$z^{2}-6z+34-34=-34$$

Если из 34 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$z^{2}-6z=-34$$

Деление -6, коэффициент x термина, 2 для получения -3. Затем добавьте квадрат -3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-6z+\left(-3\right)^{2}=-34+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$z^{2}-6z+9=-34+9$$

Прибавьте -34 к 9.

$$z^{2}-6z+9=-25$$

Коэффициент z^{2}-6z+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-3\right)^{2}=-25$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-3\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

Упростите.

$$z-3=5i z-3=-5i$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$z=3+5i z=3-5i$$