Решить z^2=z+1

$$z ^ { 2 } = z + 1$$

Найдите z

$$z = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите z из обеих частей уравнения.

$$z^{2}-z=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$z^{2}-z-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -1.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Прибавьте 1 к 4.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{1±\sqrt{5}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к \sqrt{5}.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{1±\sqrt{5}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{5} из 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2} z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите z из обеих частей уравнения.

$$z^{2}-z=1$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 1 к \frac{1}{4}.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Коэффициент z^{2}-z+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Упростите.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} z-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2} z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$