Решить y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Найдите y

$$y=2$$

$$y=15$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор y^{2}-17y+30 с помощью формулы y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-17 ab=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -17.

$$a=-15 b=-2$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(y+a\right)\left(y+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-15=0 и y-2=0у.

$$y=15 y=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: y^{2}+ay+by+30. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -17.

$$a=-15 b=-2$$

Перепишите y^{2}-17y+30 как \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Разложите y в первом и -2 в второй группе.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Вынесите за скобки общий член y-15, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-15=0 и y-2=0у.

$$y=15 y=2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -17 вместо b и 30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Возведите -17 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Умножьте -4 на 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Прибавьте 289 к -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Число, противоположное -17, равно 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{17±13}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 17 к 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Разделите 30 на 2.

$$y=15$$

Решите уравнение y=\frac{17±13}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Разделите 4 на 2.

$$y=2$$

Уравнение решено.

$$y=15 y=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Если из 30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Деление -17, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{17}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{17}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{17}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Прибавьте -30 к \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Коэффициент y^{2}-17y+\frac{289}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Прибавьте \frac{17}{2} к обеим частям уравнения.

$$y=15 y=2$$