Решить x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Найдите x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$x-3y=7$$

Прибавьте 3y к обеим частям уравнения.

$$x=3y+7$$

Подставьте 3y+7 вместо x в другом уравнении 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Умножьте 3 на 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Прибавьте 9y к 3y.

$$12y+21=9$$

Вычтите 21 из обеих частей уравнения.

$$12y=-12$$

Разделите обе части на 12.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x=3y+7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Умножьте 3 на -1.

$$x=-3+7$$

Прибавьте 7 к -3.

$$x=4$$

Система решена.

$$x=4,y=-1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=4,y=-1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Чтобы сделать x и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Упростите.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Вычтите 3x+3y=9 из 3x-9y=21 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Прибавьте 3x к -3x. Члены 3x и -3x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-9y-3y=21-9$$

Прибавьте -9y к -3y.

$$-12y=21-9$$

Прибавьте 21 к -9.

$$-12y=12$$

Разделите обе части на -12.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в 3x+3y=9. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Умножьте 3 на -1.

$$3x-3=9$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$3x=12$$

Разделите обе части на 3.

$$x=4$$

Система решена.

$$x=4,y=-1$$