Решить x^2-6x-1080=0

$$x ^ { 2 } - 6 x - 1080 = 0$$

Найдите x

$$x=-30$$

$$x=36$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-6x-1080 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-6 ab=-1080$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -1080.

$$1,-1080 2,-540 3,-360 4,-270 5,-216 6,-180 8,-135 9,-120 10,-108 12,-90 15,-72 18,-60 20,-54 24,-45 27,-40 30,-36$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-1080=-1079 2-540=-538 3-360=-357 4-270=-266 5-216=-211 6-180=-174 8-135=-127 9-120=-111 10-108=-98 12-90=-78 15-72=-57 18-60=-42 20-54=-34 24-45=-21 27-40=-13 30-36=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -6.

$$a=-36 b=30$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-36\right)\left(x+30\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-36=0 и x+30=0у.

$$x=36 x=-30$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-1080. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-6 ab=1\left(-1080\right)=-1080$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -1080.

$$1,-1080 2,-540 3,-360 4,-270 5,-216 6,-180 8,-135 9,-120 10,-108 12,-90 15,-72 18,-60 20,-54 24,-45 27,-40 30,-36$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-1080=-1079 2-540=-538 3-360=-357 4-270=-266 5-216=-211 6-180=-174 8-135=-127 9-120=-111 10-108=-98 12-90=-78 15-72=-57 18-60=-42 20-54=-34 24-45=-21 27-40=-13 30-36=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -6.

$$a=-36 b=30$$

Перепишите x^{2}-6x-1080 как \left(x^{2}-36x\right)+\left(30x-1080\right).

$$\left(x^{2}-36x\right)+\left(30x-1080\right)$$

Разложите x в первом и 30 в второй группе.

$$x\left(x-36\right)+30\left(x-36\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-36, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-36\right)\left(x+30\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-36=0 и x+30=0у.

$$x=36 x=-30$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-6x-1080=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -6 вместо b и -1080 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-1080\right)}}{2}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-1080\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -1080.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+4320}}{2}$$

Прибавьте 36 к 4320.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{4356}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 4356.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±66}{2}$$

Число, противоположное -6, равно 6.

$$x=\frac{6±66}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{6±66}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 6 к 66.

$$x=\frac{72}{2}$$

Разделите 72 на 2.

$$x=36$$

Решите уравнение x=\frac{6±66}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 66 из 6.

$$x=-\frac{60}{2}$$

Разделите -60 на 2.

$$x=-30$$

Уравнение решено.

$$x=36 x=-30$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x-1080=0$$

Прибавьте 1080 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-6x-1080-\left(-1080\right)=-\left(-1080\right)$$

Если из -1080 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-6x=-\left(-1080\right)$$

Вычтите -1080 из 0.

$$x^{2}-6x=1080$$

Деление -6, коэффициент x термина, 2 для получения -3. Затем добавьте квадрат -3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=1080+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x^{2}-6x+9=1080+9$$

Прибавьте 1080 к 9.

$$x^{2}-6x+9=1089$$

Коэффициент x^{2}-6x+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=1089$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1089}$$

Упростите.

$$x-3=33 x-3=-33$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=36 x=-30$$