Решить x^2-15x-9=0

$$x ^ { 2 } - 15 x - 9 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{3 \sqrt{29} + 15}{2} \approx 15,577747211$$

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}\approx -0,577747211$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -15 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Возведите -15 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-9\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+36}}{2}$$

Прибавьте 225 к 36.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{261}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 261.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{29}}{2}$$

Число, противоположное -15, равно 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15 к 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{29} из 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-15x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-15x=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$x^{2}-15x=9$$

Деление -15, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{15}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{15}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{15}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=9+\frac{225}{4}$$

Прибавьте 9 к \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{261}{4}$$

Коэффициент x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{261}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{261}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Прибавьте \frac{15}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$