Решить x^2-14x=-47

$$x ^ { 2 } - 14 x = - 47$$

Найдите x

$$x=\sqrt{2}+7\approx 8,414213562$$

$$x=7-\sqrt{2}\approx 5,585786438$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-14x=-47$$

Прибавьте 47 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-14x-\left(-47\right)=-47-\left(-47\right)$$

Если из -47 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-14x-\left(-47\right)=0$$

Вычтите -47 из 0.

$$x^{2}-14x+47=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -14 вместо b и 47 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 47}}{2}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 47}}{2}$$

Умножьте -4 на 47.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-188}}{2}$$

Прибавьте 196 к -188.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{8}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{2}}{2}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+14}{2}$$

Разделите 14+2\sqrt{2} на 2.

$$x=\sqrt{2}+7$$

Решите уравнение x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{2} из 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{2}}{2}$$

Разделите 14-2\sqrt{2} на 2.

$$x=7-\sqrt{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{2}+7 x=7-\sqrt{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x=-47$$

Деление -14, коэффициент x термина, 2 для получения -7. Затем добавьте квадрат -7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-47+\left(-7\right)^{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x^{2}-14x+49=-47+49$$

Прибавьте -47 к 49.

$$x^{2}-14x+49=2$$

Коэффициент x^{2}-14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=2$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Упростите.

$$x-7=\sqrt{2} x-7=-\sqrt{2}$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{2}+7 x=7-\sqrt{2}$$