Решить x^2+x-342=0

$$x ^ { 2 } + x - 342 = 0$$

Найдите x

$$x=-19$$

$$x=18$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+x-342 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=-342$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -342.

$$-1,342 -2,171 -3,114 -6,57 -9,38 -18,19$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+342=341 -2+171=169 -3+114=111 -6+57=51 -9+38=29 -18+19=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-18 b=19$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-18\right)\left(x+19\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-18=0 и x+19=0у.

$$x=18 x=-19$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-342. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=1\left(-342\right)=-342$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -342.

$$-1,342 -2,171 -3,114 -6,57 -9,38 -18,19$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+342=341 -2+171=169 -3+114=111 -6+57=51 -9+38=29 -18+19=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-18 b=19$$

Перепишите x^{2}+x-342 как \left(x^{2}-18x\right)+\left(19x-342\right).

$$\left(x^{2}-18x\right)+\left(19x-342\right)$$

Разложите x в первом и 19 в второй группе.

$$x\left(x-18\right)+19\left(x-18\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-18, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-18\right)\left(x+19\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-18=0 и x+19=0у.

$$x=18 x=-19$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+x-342=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 1 вместо b и -342 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-342\right)}}{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-342\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -342.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+1368}}{2}$$

Прибавьте 1 к 1368.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1369}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 1369.

$$x=\frac{-1±37}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±37}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 37.

$$x=\frac{36}{2}$$

Разделите 36 на 2.

$$x=18$$

Решите уравнение x=\frac{-1±37}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 37 из -1.

$$x=-\frac{38}{2}$$

Разделите -38 на 2.

$$x=-19$$

Уравнение решено.

$$x=18 x=-19$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-342=0$$

Прибавьте 342 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+x-342-\left(-342\right)=-\left(-342\right)$$

Если из -342 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+x=-\left(-342\right)$$

Вычтите -342 из 0.

$$x^{2}+x=342$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=342+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=342+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 342 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1369}{4}$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1369}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{37}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{37}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=18 x=-19$$