Решить x^2+6x-40=0

$$x ^ { 2 } + 6 x - 40 = 0$$

Найдите x

$$x=-10$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+6x-40 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=-40$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 6.

$$a=-4 b=10$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-4\right)\left(x+10\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и x+10=0у.

$$x=4 x=-10$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-40. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=1\left(-40\right)=-40$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 6.

$$a=-4 b=10$$

Перепишите x^{2}+6x-40 как \left(x^{2}-4x\right)+\left(10x-40\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(10x-40\right)$$

Разложите x в первом и 10 в второй группе.

$$x\left(x-4\right)+10\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(x+10\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и x+10=0у.

$$x=4 x=-10$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+6x-40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 6 вместо b и -40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-40\right)}}{2}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-40\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -40.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2}$$

Прибавьте 36 к 160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-6±14}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±14}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Разделите 8 на 2.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-6±14}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из -6.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Разделите -20 на 2.

$$x=-10$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=-10$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+6x-40=0$$

Прибавьте 40 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+6x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Если из -40 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+6x=-\left(-40\right)$$

Вычтите -40 из 0.

$$x^{2}+6x=40$$

Деление 6, коэффициент x термина, 2 для получения 3. Затем добавьте квадрат 3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+6x+3^{2}=40+3^{2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x^{2}+6x+9=40+9$$

Прибавьте 40 к 9.

$$x^{2}+6x+9=49$$

Коэффициент x^{2}+6x+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=49$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Упростите.

$$x+3=7 x+3=-7$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$x=4 x=-10$$