Решить x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Найдите x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+31x-360 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=31 ab=-360$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 31.

$$a=-9 b=40$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+40=0у.

$$x=9 x=-40$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-360. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 31.

$$a=-9 b=40$$

Перепишите x^{2}+31x-360 как \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Разложите x в первом и 40 в второй группе.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+40=0у.

$$x=9 x=-40$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 31 вместо b и -360 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Возведите 31 в квадрат.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Прибавьте 961 к 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-31±49}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -31 к 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Разделите 18 на 2.

$$x=9$$

Решите уравнение x=\frac{-31±49}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 49 из -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Разделите -80 на 2.

$$x=-40$$

Уравнение решено.

$$x=9 x=-40$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Прибавьте 360 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Если из -360 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Вычтите -360 из 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Деление 31, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{31}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{31}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{31}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Прибавьте 360 к \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Коэффициент x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Вычтите \frac{31}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=9 x=-40$$