Решить x^2+3x+7=25

$$x ^ { 2 } + 3 x + 7 = 25$$

Найдите x

$$x=-6$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+3x+7-25=0$$

Вычтите 25 из 7, чтобы получить -18.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+3x-18 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=-18$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-3 b=6$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+6=0у.

$$x=3 x=-6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+3x+7-25=0$$

Вычтите 25 из 7, чтобы получить -18.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-18. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-3 b=6$$

Перепишите x^{2}+3x-18 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+6=0у.

$$x=3 x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+3x+7=25$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+3x+7-25=25-25$$

Если из 25 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+3x+7-25=0$$

Вычтите 25 из 7.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 3 вместо b и -18 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-18\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -18.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+72}}{2}$$

Прибавьте 9 к 72.

$$x=\frac{-3±\sqrt{81}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-3±9}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±9}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 9.

$$x=\frac{6}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{-3±9}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из -3.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Разделите -12 на 2.

$$x=-6$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+7=25$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+3x+7-7=25-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+3x=25-7$$

Вычтите 7 из 25.

$$x^{2}+3x=18$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=18+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=18+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 18 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{81}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=3 x=-6$$